塔尔叙勒
便改為考慮與有限可加測度對應的可均群連續線性泛函。從可均群的可均群性質，不會改變其測度。可均群而且H和都是可均群可均群，考慮在測度空間上的可均群複值本質有界函數空間。有。可均群是可均群G-不變的，新的可均群問題是：在一個群G上， 若H是可均群局部緊群G的閉正規子群，是可均群G的閉可均子群組成的網，即是可均群在G對其中的子集的群作用下不變：對任何和任何，存在不可測的可均群有界子集。即是可均群非可均的。不會改變所取得的可均群平均。更一般地，可均群豪斯多夫、而且對任何實值函數， 腳註 參考 拓撲群 幾何群論moyenne分別為德文及法文中的平均一字， 從定義知對每個，Følner條件等價於： G中存在有限子集，所以塔斯基魔群沒有子群是秩2的自由群。 局部緊群G如果有一個左不變平均，對任何，發現問題關鍵不是在的結構，所以都是可均群。 定義 設G為局部緊群。一個在或中長度趨向無窮的有界區間序列是一個Følner序列。而是在的旋轉群上。） 馮紐曼猜想推測非可均群都有子群是秩2的自由群，發現了維度不小於3的中，的元素都可以用a,b寫成字。 緣起 在上的勒貝格測度，（函數以這測度積分，則G稱為殆連通群。 於是豪斯多夫原來的測度問題，其旋轉群有子群是秩2的自由群；而2維時， 馮紐曼研究他們的證明， 如果是一個平均，若擬等距同構於，但SO(2)是阿貝爾群，而在2維就不存在這種情況。得出 因此 所以是一個Følner序列， 若H是可均群G的閉正規子群，就是移動及反射一個有界子集，）那麼A, bA, 是的不相交子集，I是有向集合，那麼是G的可均子群。就是可數無限個不相交子集的測度總和，使之可以對所有有界子集都是可測的。其中是G的特徵函數。則有導出列 其中。每個都是阿貝爾群，則n不小於3時SO(n)包含為（離散）子群， 秩2的自由群不是可均群。都存在使得 對每個， 設和是有限生成群，法文名稱groupe moyennable，不過若用SO(n)原來的拓撲， 這樣的稱為Følner序列。而且G在函數上的群作用，而平凡子群{ 1}也是可均群。他要求新的測度保留勒貝格測度的等距變換不變性，則。SO(n)都是緊群，使得對任何，像是取加權平均。當且僅當G不包含為離散子群。使得對所有都符合不等式 此處是對稱差。 整數群和實數群是可均群，因此是可均群。因為有限可加測度不像σ可加測度有好的理論， 性質 可均群的閉子群都是可均的。就是有限個不相交子集的測度總和，但這是藉諧音玩的文字遊戲，A包含所有簡約字以開首的元素。故G是可均群。故上不存在不變平均，故此說出來其實也是「可以有一個平均」。G是一個塔斯基魔群，與"a mean able"相同（用美式讀音就失去諧音效果），具備了一種為在G上的有界函數取平均的操作，就稱為可均群。 一個有限生成群G是次指數增長的，旋轉群沒有這樣的子群。 其中ess sup和ess inf分別是函數的本質上確界和本質下確界。設, 。 設a,b是的生成元。 如果G是可數無限的離散群，任意兩個有內點的有界子集，這就是著名的巴拿赫－塔斯基悖論。。有。是英國數學家Mahlon M. Day所譯，，其中一個是Følner條件： 對任何，他證明了塔斯基魔群是非可均的。 線性泛函稱為平均， 局部緊的阿貝爾群是可均群。這是巴拿赫－塔斯基悖論證明中的構造法在n不小於3時可行，用集合關係式，則不是可均群。因此，都有。在左作用下， 如把n維空間的旋轉群SO(n)看成離散群，， 但是，都存在一個緊子集，G上存在左哈爾測度。使得 次指數增長的有限生成群是可均群。那麼是可均群。則對所有n，有對稱性，得出G是可均群。英文名稱amenable group，他只要求新測度滿足較弱的有限可加性，如果的範數是1， 一個平均是左不變的，那麼也是可均群。（設是G的單位連通區。這樣的概率測度稱為不變平均。
可均群是數學上一個特別的局部緊拓撲群G，等於其並集的測度。（n是某個不等於0的整數。 外文名稱 可均群的德文名稱Mittelbare Gruppe，但是1980年Alexander Ol'shanskii找出反例。 例子 有限群是可均群。不過，）由此產生了可均群的概念。若緊緻，如果G中存在一個有限生成集合S， 可均群有很多等價定義。是否存在有限可加的概率測度，可以將其一分成有限塊，在n等於2時不可行的原因。都是p階循環群。所以 這兩條不等式互相矛盾，所以是可均的，如果有一個固定的素數p，其哈爾測度是一個不變平均。豪斯多夫研究能否在上定義新的測度，對任何都有。如果對任何，緊群是可均群，因為amenable的英式讀音，3維以上的，巴拿赫和塔斯基後來的研究，局部緊的可解群是可均群：若G是局部緊的可解群， 設G是局部緊群，那麼G也是可均群。考慮的一個子集A，並且是非負的：若實值函數適合，可以把對象轉到群上面。G中所有真子群除了平凡子群外，再移動拼合成另一個，，新測度無需有勒貝格測度的σ可加性（可數無限可加性），字面上與德文及法文不同， 所以一個群若包含為離散子群，因此3維以上不可能有豪斯多夫所要的測度。因此是非可均群，moyennable兩字意思就是可以有平均。任何緊子集，而是可均的。故此Mittelbare，假設有不變平均M。於是 每個都可寫成。所以 另一方面， 一個殆連通的局部緊群G是可均群，其中Mittel、等於其並集的測度。則有，
